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牛頓在數學上的成果:

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牛頓在數學上的成果:

牛頓在數學上的成果主要有以下四個方面：

(i)發現二項式的定理:

在一六六五年，剛好二十二歲的牛頓發現了二項式定理，這對於微積分的充分發展是必不可少的一步。

二項式定理把能為直接計算所發現的等簡單結果推廣如下的形式:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

　　 　　二項式級數展開式是研究級數論、函數論、數學分析、方程理論的有力工具。在今天我們會發覺這個方法只適用於ｎ是正整數，當ｎ是正整數１，２，３，....... ，級數終止在正好是ｎ＋１項。如果ｎ不是正整數，級數就不會終止，這個方法就不適用了。但是我們要知道那時，萊布尼茨在一六九四年才引進函數這個詞，在微積分早期階段，研究超越函數時用它們的級來處理是所用方法中最逼有成效的。

(ii)創建微積分:

牛頓在數學上最卓越的成就是創建微積分。他超越前人的功績在於，他將古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統一為兩類普遍的算法－－微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關係，如：面積計算可以看作求切線的逆過程。那時萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報告，更因此引發了一埸微積分發明專利權的爭論，直到萊氏去世才停熄。而後世己認定微積是他們同時發明的。

微積分方法上，牛頓所作出的極端重要的貢獻是，他不但清楚地看到，而且大贍地運用了代數所提供的大大優越於幾何的方法論。他以代數方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數化。從此，數學逐漸從感覺的學科轉向思維的學科。

微積產生的初期，由於還沒有建立起鞏固的理論基礎，被有受別有用心者鉆空子。更因此而引發了著名的第二次數學危機。這個問題直到十九世紀極限理論建立，才得到解決。

(iii)引進極座標,發展三次曲線理論:

牛頓對解析幾何作出了意義深遠的貢獻，他是極坐標的創始人。第一個對高次平面曲線進行廣泛的研究。牛頓証明了怎樣能夠把一般的三次方程所代表的一切曲線通過標軸的變換化為以下四種形式之一：

ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 + ex2 + fxy + gy2 + hx + jy + k = 0

[1] xy2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d

[2] xy = ax3 + bx2 + cx + d

[3] y2 = ax3 bx2 + cx + d

[4] y = ax3 + bx2 + cx + d

在《三次曲線》一書牛頓列舉了三次曲線可能的７８種形式中的７２種。這些中最吸引人；最難的是：正如所有曲線能作為圓的中心射影被得到一樣；所有三次曲線都能作為曲線的中心射影而得到。這一定理，在１９７３年發現其證明之前，一直是個謎。

牛頓的三次曲線奠定了研究高次平面線的基礎，闡明了漸近線、結點、共點的重要性。牛頓的關於三次曲線的工作激發了關於高次平面曲線的許多其他研究工作。

(iv)推進方程論,開拓變分法:

牛頓在代數方面也作出了經典的貢獻，他的《廣義算術》大大推動了方程論。他發現實多項式的虛根必定成雙出現，求多項式根的上界的規則，他以多項式的係數表示多項式的根ｎ次冪之和公式，給出實多項式虛根個數的限制的笛卡兒符號規則的一個推廣。

牛頓在還設計了求數值方程的實根近似值的對數和超越方程都適用的一種方法，該方法的修正，現稱為牛頓方法。